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          初中數學常用的概念、公式和定理(轉)
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          初中數學常用的概念、公式和定理  
           
          1. 整數(包括:正整數、0、負整數)和分數(包括:有限小數和無限環循小數)都是有理數. 如:-3,
          ,0.231,0.737373…,
          ,
          .無限不環循小數叫做無理數..如:π,-
          -
          ,0.1010010001…(兩個1之間依次多1個0).有理數和無理數統稱為實數. 
          2. 絕對值:a≥0丨a丨=a;a≤0
          丨a丨=-a. 
          如:丨-
          丨=
          ;丨3.14-π丨=π-3.14. 
          3.一個近似數,從左邊笫一個不是0的數字起,到最末一個數字止,所有的數字,都叫做這個近似數的有效數字.如:0.05972精確到0.001得0.060,結果有兩個有效數字6,0. 

          4.把一個數寫成±a×10n的形式(其中1≤a<10,n是整數),這種記數法叫做科學記數法. 如:-40700=-4.07×105,0.000043=4.3×10-5. 
          5.被開方數的小數點每移動2位,算術平方根的小數點就向相同方向移動1位;被開方數的小數點每移動3位,立方根的小數點就向相同方向移動1位. 如:已知
          =0.4858,則
          =48.58;已知
          =1.558,則
          =0.1588. 
          6.整式的乘除法:①幾個單項式相乘除,系數與系數相乘除,同底數的冪結合起來相乘除. ②單項式乘以多項式,用單項式乘以多項式的每一個項.③多項式乘以多項式,用一個多-項式的每一項分別乘以另一個多項式的每一項.④多項式除以單項式,將多項式的每一項 分別除以這個單項式. 
          7.冪的運算性質:①am×an=am+n.②am÷an=am-n.③(am)n=amn.④(ab)n=anbn.⑤()n=n.⑥a-n=n,特別:()-n=()n.⑦a0=1(a≠0). 
          如:a3×a2=a5,a6÷a2=a4,(a3)2=a6,(3a3)3=27a9,(-3)-1=-,5-2==
          ,()-2=()2=,(-
          3.14)0=1,(

          )0=1. 
          8.乘法公式(反過來就是因式分解的公式):①(a+b)(a-b)=a2-b2.②(a±b)2=a2±2ab+b2.③(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3.④(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3;a2+b2=(a+b)2-2ab,(a-b)2=(a+b)2-4ab. 
          9.選擇因式分解方法的原則是:先看能否提公因式.在沒有公因式的情況下:二項式用平方差公式或立方和差公式,三項式用十字相乘法(特殊的用完全平方公式),三項以上用分組分解法.注意:因式分解要進行到每一個多項式因式都不能再分解為止. 
          10.分式的運算:乘除法要先把分子、分母都分解因式,并顛倒除式,約分后相乘;加減法應先把分母分解因式,再通分(不能去分母).注意:結果要化為最簡分式. 

          11.二次根式:①()2=a(a≥0),②
          =丨a丨,③

          ,④
          =
          (a>0,b≥0). 
          如:①(3
          )2=45.②
          =6.③a<0時,=-a
          .④
          的平方根=4的平方根=±2. 
          12.一元二次方程:對于方程:ax2+bx+c=0:①求根公式是x=
          ,其中=b2-4ac叫做根-
          的判別式.當Δ>0時,方程有兩個不相等的實數根;當Δ=0時,方程有個相等的實數根;當-

           


            

           


           
          Δ<0時,方程沒有實數根.注意:當Δ≥0時,方程有實數根.③若方程有兩個實數根x1和x2,則 
          x1+x2=-,x1x2=,并且二次三項式ax2+bx+c可分解為a(x-x1)(x-x2).④以a和b為根的一 元二次方程是x2-(a+b)x+ab=0. 
          13.解分式方程(去分母或換元)和無理方程(兩邊平方或換元)必須檢驗.形如:-的方程組,用代入法解;形如:
          的方程組,先把一個方程分解
          為兩個一次方程,再把這兩個方程分別與另一個方程組合成兩個方程組,再用代入法分別
          解這兩個方程組. 
          14.不等式兩邊都乘以或除以同一個負數,不等號要改變方向. 15.平面直角坐標系:①各限象內點的坐標如圖所示. 
          ②橫軸(x軸)上的點,縱坐標是0;縱軸(y軸)上的點,橫坐標是0. ③關于橫軸對稱的兩個點,橫坐標相同(縱坐標互為相反數); 關于縱軸對稱的兩個點,縱坐標相同(橫坐標互為相反數); 關于原點對稱的兩個點,橫坐標、縱坐標都互為相反數. 
          16.一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象是一條直線(b是直線與y軸的交點的縱坐標).當k>0時,y隨x的增大而增大(直線從左向右上升);當k<0時,y隨x的增大而減小(直線從左向右下降).特別:當b=0時,y=kx又叫做正比例函數(y與x成正比例),圖象必過原點. 
          17.反比例函數y=(k≠0)的圖象叫做雙曲線.當k>0時,雙曲線在一、三象限(從左向右降);當k<0時,雙曲線在二、四象限(從左向右上升).因此,它的增減性與一次函數相反. 18.二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象叫做拋物線(c是拋物線與y軸的交點的縱坐標).①a>0時,開口向上;a<0時,開口向下.②頂點坐標是(-
          ,
          ),對稱軸是直線x=-. 特別:拋物線y=a(x-h)2+k的頂點坐標是(h,k),對稱軸是直線x=h. 
          注意:求解析式的設法①已知三個點的坐標,則設為一般形式y=ax2+bx+c;②已知頂點坐標(h,k),則設為頂點式y=a(x-h)2+k;③已知拋物線與x軸的兩個交點坐標(x1,0)和(x2,0),則設為交點式y=a(x-x1)(x-x2). 
          19.拋物線與x軸的位置關系:對于拋物線y=ax2+bx+c①Δ<0時,它與x沒有交點.②Δ=0時,它與x軸只有一個交點(與x軸相切).③Δ>0時,它與x軸有兩個交點(x1,0)和(x2,0),其中x1和x2是方程ax2+bx+c=0的兩個根. 
          20.統計初步:(1)概念:①所要考察的對象的全體叫做總體,其中每一個考察對象叫做個體.從總體中抽取的一部份個體叫做總體的一個樣本,樣本中個體的數目叫做樣本容量.②在一組數據中,出現次數最多的數(有時不止一個),叫做這組數據的眾數.③將一組數據按大小順序排列,把處在最中間的一個數(或兩個數的平均數)叫做這組數據的中位數. (2)公式:設有n個數x1,x2,…,xn,那么: 
          ①平均數=(x1+x2+…+xn).②方差S2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2.(是整數時用) ③S2=[(x12+x22+…+xn2)-n()2].注:各數據的數位較少或平均數是分數時,用此公式. 

           


           


           
          ④若將n個數x1,x2,…,xn各減去一個適當的數a,得到一組新數x1,,x2,,…,xn,,那么原來那組數的方差S2=這組新數的方差,平均數=a+,.
          方差越大,這組數據的波動就越大.通常用
          樣本方差去估計總體方差,用樣本平均數去估計總體平均數.方差的算術平方根叫做標準
          差 
          (3)頻率:①把一組數分成若干個小組,組距=(最大值-最小值)÷組數(求組數時,用收尾 法取整數),這時,落在某小組內的數據的個數叫做這組的頻數,每一小組的頻數與數據總 個數的比值叫做這一小組的頻率.因此,各組的頻率的和等于1.在頻率分布直方圖中,各小長方形的面積等于相應各組的頻率.各小長方形的面積的和等于1. 21.銳角三角函數:①設∠A是RtΔ的任一銳角,則∠A的正弦:sinA=,∠A的余弦:cosA=
          ,∠A的正切:tanA=
          ,∠A的余切:cotA=

          并且sinA=cosB,tgA=ctgB,tgActgA=1,sin2A+cos2A=1.0<sinA<1,0<cosA<1,tgA>0,ctgA>0.∠A越大,∠A的正弦和正切值越大,余弦和余切值反而越小. 
          ②余角公式:sin(900-A)=cosA,cos(900-A)=sinA,tg(900-A)=ctgA,ctg(900-A)=tgA. ③特殊角的三角函數值:sin300=cos600=,sin450=cos450=,sin600=cos300=
          ,sin00= 
          cos900=0,sin900=cos00=1,tg300=ctg600=,tg450=ctg450=1,tg600=ctg300=-
          ,tg00=ctg900=0. ④斜坡的坡度i=
          =.設坡角為α,則i=tgα=. 
          22.三角形:(1)在一個三角形中:等邊對等角,等角對等邊. 
          (2).證明兩個三再形全等的方法有:SAS,AAS,ASA,SSS,HL.(3)在RtΔ中,斜邊上的中線等于斜邊的一半.(4)證明一個三角形是直角三角形的方法有:①先證明有一個角等于900. 
          ②先證明最長邊的平方等于另兩邊的平方和.③先證明一條邊的中線等于這條邊的一半.(5)三角形的中位線平行于笫三邊,并且等于笫三邊的一半.(6)等腰三角形中,頂角的平分線與底邊上的中線和高互相重合. 
          23.四邊形:(1)n邊形的內角和等于(n-2)1800,外角和等于3600. 
          (2)平行四邊形的性質:對邊平行且相等;對角相等;鄰角互補;對角線互相平分. (3)證明一個四邊形是平行四邊形的方法有:①先證兩組對邊平行.②先證兩組對邊相等. ③先證一組對邊平行且相等.④先證兩條對角線互相平分.⑤先證兩組對角分別相等. (4)矩形的對角線相等且互相平分;菱形的對角線互相垂直平分,并且四條邊相等. (5)證明一個四邊形是矩形的方法有:①先證明它有三個角是直角.②先證它是平行四邊形,再證它有一個角是直角或對角線相等. 
          (6)證明一個四邊形是菱形的方法有:①先證明它的四條邊相等.②先證它是平行四邊形,再證它有一組鄰邊相等或對角線互相垂直. 
          (7)正方形既是矩形又是菱形,它具有矩形和菱形的所有性質. (8)梯形的中位線平行于兩底并且等于兩底之和的一半.

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